Gästkolumnisten Martin Högstrand skriver om Nashjämvikten och jakten på precision och stringens.
Utan strävan efter stringens och skönhet vore matematik i viss bemärkelse värdelös. Graden av precision är det som gör ett matematiskt resultat verkningsfullt. Men estetisk harmoni skapar en närmast själfull effekt i ett bevis och jag tror det är kärnan i vad som driver många matematiker.
När jag skummar litteraturen i jakt på ett matematiskt resultat av modernt datum som visat sig ha inflytande på någon disciplin utanför matematiken fastnar jag för John Nashs (1928–2015) insatser inom spelteorin.
Den mycket framstående matematikern Nash, känd för en bredare massa från långfilmen A Beautiful Mind, visade vid beräkningar som rör strategiska val vid en viss typ av spel något som så småningom kom att bli användbart inom bland annat ekonomisk och samhällsvetenskaplig teori. Hans arbete som i huvudsak kom till kring femtiotalet renderade honom dessutom Nobelpriset i ekonomi 1994.
Förenklat, handlar dessa resultat om vad man matematiskt kan säga om fördelarna vid en viss spelstrategi i icke-kooperativa spel. I Nashjämvikt, som infinner sig vid somliga typer av strategier och under vissa förutsättningar, ser vi en spelmöjlighet som är av stort intresse. Även om teorin inte alltid förutser vad som är bäst att göra för en enskild spelare i ett enskilt fall ger det oss en allmän och mycket elegant sats, Nashs existenssats, med ett brett spektrum av tillämpningar.
Jag hittar i spelet sten-påse-sax, som är välkänt för de flesta, ett enkelt exempel som en illustration till Nashs frågeställning. Teoretiskt innebär tillvägagångssättet att definiera en utbetalningsfunktion, till exempel en viss summa för vinst och motsvarande negativa summa för förlust. I det fall båda gör samma val uteblir utbetalningen. Vi kan härigenom skapa en utbetalningsmatris. Det visar sig att det i spel inte alltid finns en dominant strategi, i meningen att något enskilt val skulle vara bättre än något annat, och Nash undersökte därför fall som är svagare än dominant, det vill säga de situationer då ingen spelare har något att vinna på att avvika från den handling som ingår i Nashjämvikten. Det kommer fram att Nashjämvikt i sten-påse-sax infinner sig för de blandade strategierna, det vill säga varje handling bör användas i genomsnitt var tredje gång utan något mönster.
Om vi betraktar alla icke-kooperativa spel där spelarna gör sina val oberoende av varandra och samtidigt, som i det ovannämnda fallet, visar Nashs existenssats (givet vissa matematiska betingelser) att en Nashjämvikt alltid existerar, det vill säga ett lösningsalternativ där alla spelare har störst fördel i utsikt om de väljer bort de alternativ som inte ingår i Nashjämvikten. Ännu bättre att satsen kan generaliseras till ett godtyckligt antal spelare.
I komplicerade icke-kooperativa spel där det är omöjligt att intuitivt hitta rätt lösning går det alltså alltid att finna en Nashjämvikt. Själva förförelsekraften i Nashs resultat ligger till del i den direkta kopplingen mellan teori och verklighet, att en avancerad matematiskt-logisk bevisföring kan säga något mycket allmänt, tillämpbart och rent av vackert om spel.
Det är ingen underdrift att matematiker genom att hitta en lämplig symbolernas samverkan söker förädla ett antal utsagor för att få dem att utmynna i en skönhetseffekt. Denna intrikata samverkan mellan sats och enskildhet är ofta det som driver fram ett resultat – säkert också för Nash.
Nashs sats om jämvikten i icke-kooperativa spel har typiskt nog bevisats på nytt med andra metoder än Nashs. Jakten på precision och stringens, som är likaväl hjärtat såväl som styrkan i matematiska beräkningar, har återigen flyttat positionerna.
Martin Högstrand
Skribenten är författare och magisterstuderande i matematik vid Åbo Akademi.