I vilken mening existerar matematiska tal?

Sedan 1800-talet har det för yrkesmatematiker blivit allt osäkrare vad matematiken handlar om. Matematikens filosofi uppstår för att försöka tackla frågor inom matematiken som matematiken inte själv kan svara på. Ett sätt att närma sig frågor om i vilken mening matematiska objekt existerar är att se på hur dessa konkret används.

Text & Foto: Marcus Prest

FILOSOFIN OCH MATEMATIKEN sägs ha en gemensam fader i Thales, som levde cirka 500 år f.Kr. I den tidiga filosofihistorien var filosofer ofta bevandrade i matematik, och under de senare århundradena var matematiker och naturvetare ofta bevandrade i filosofin – det fanns heller ingen skarp åtskillnad: vetenskapsmän var inte specialiserade på samma sätt som idag.

Under 1800-talet blir det för de flesta naturvetenskapare allt klarare vad föremålet för deras ämne är, medan det för matematikerna går tvärtom: det blir allt oklarare vad matematik handlar om. Frågor som ”vad är ett tal?”, ”vad är ett reellt tal?”, ”vad är ett naturligt tal?” är frågor som matematiken inte internt verkar kunna svara på.

I början av 1900-talet upptäcks även Russels paradox som visar att abstraktionsprincipen ger upphov till motsättningar inom mängdteorin. Abstraktionsprincipen är en av grundprinciperna i mängdteorin, som i sin tur är en av grundbultarna i den rena matematiken). En misstänksamhet mot matematiken breder ut sig i de vetenskapliga kretsarna: kan man lita på matematiken?

– Det är oklart om det tvivlet hade någon praktisk påföljd, men det uppstår ett behov att utreda vad Russels paradox och andra matematiska paradoxer handlar om, säger Kim Berts som nyss disputerat för sin avhandling i matematikens filosofi vid Åbo Akademi. Avhandlingen heter The Certainty of Mathematics: A Philosophical Investigation.

– Istället för frågor om säkerheten i matematiska resultat börjar diskussionen handla om vi kan ha en objektiv och giltig kunskap om matematiska objekt. Onödigt ofta försöker man svara på de här frågorna på matematisk väg. Istället finns det en mera fruktbar diskussion om relationen mellan ett matematiskt problem och ett filosofiskt problem.

Kim Berts har jobbat på sin avhandling i tio år. Av de åren jobbade han ihållande de fem–sex första åren, medan han under de sista fyra åren jobbade på heltid som lärare i filosofi och matematik i Vasa gymnasium.

– Det betyder att tankarna hunnit mogna – för nu blev det långa perioder av lärarjobb då jag inte alls tittade på avhandlingen, och då jag sedan öppnade den på nytt kunde jag se på texten med nya ögon. Jag kunde kanske annars ha blivit färdigt om jag skrivit med våld. Men jag tror inte att det hade blivit lika bra i så fall.

I jobbet som lärare i filosofi och matematik säger Kim Berts att han tvingats uttrycka saker på ett sätt som folk kan förstå. Särskilt filosofiundervisningen har varit nyttig eftersom man tvingas uttrycka idéer och tankar och diskutera dem med folk som annars inte har en koppling till filosofin. Gymnasieeleverna är en rätt svårflirtad publik.

Finns det en särskild koppling mellan filosofi och matematik – jag menar en koppling som skiljer sig mellan kopplingen mellan filosofi och alla andra ämnen?
– Ja och nej. Nej på det sättet att det finns filosofiska frågor som rör matematiken och sträcker sig utanför den. Den relationen har väl filosofin till alla ämnen. Relationen mellan matematiken och filosofin är speciell på det sättet att båda sysselsätter sig med abstrakta resonemang.

Ett matematiskt problem är till exempel: 55 + 19 = ? Ett sätt att angripa problemet är med algoritmen ”uppställning”. Ett helt annat typ av problem är att undra över vad ett tal är.

– Matematiska problem kan till exempel ha ett delmoment i att bestämma vilken metod som fungerar bäst för det aktuella problemet. Och det kan vara svårt att lösa matematiska problem, men det står oftast klart att man gjort det när man gjort det, och det är tillfredställande klart och tydligt. När det gäller forskningsmatematik, som jag inte sysslat med, är det kanske annorlunda.

– Vad gäller den andra typen av problem, det vill säga filosofiska problem inom matematiken, finns det ingen metod att använda som är analog med de vi har inom matematiken men inte heller med de vi har inom naturvetenskaperna.

– Men det lustiga med filosofiska frågor om matematiken är att alla kan ge ett svar, till exempel på frågan vad ett tal är. Och vad gäller matematisk säkerhet kan man ju säga att vi kan ”bevisa” att resultaten är säkra. Problemet är att de svar man kan komma på knappast utan vidare ger någon tillfredställelse på ett djupare plan. Och det är filosofins uppgift att gå in på ett djupare plan och försöka förstå vad det är för frågor vi har att göra med.

Inom filosofin finns inte någon särskild metod för att angripa de filosofiska frågorna som gäller matematiken och inte heller något studieobjekt att vända oss mot för att få ett svar på de filosofiska frågorna gällande matematiken. Risken är att vi börjar spekulera och tappar kontakten med vad vi arbetar med. Man kan tappa sinnet för vilket värde ens spekulationer har.

– Istället kan man ta ett steg bakåt och fundera på i vilket sammanhang matematiken vid ett specifikt tillfälle används och vad man förväntar sig att den ska uträtta.

Det låter som att vi nu närmar oss Wittgenstein?
– Ja. Han lägger ju grunden för en viss typ av matematik filosofi under början och mitten av 1900-talet. Man kan angripa problemen med att studera hur tal och säkerhet verkligen används där de används. Vad är det som tas för givet när man använder dem? Vad tal och vad säkerheter är, avslöjas alltså i den konkreta användningen av matematiken. När vi använder matematiken för att säg mäta vinklarna i ett verandabygge finns det ingen plats att ifrågasätta själva matematiken. Det skulle vara en märklig ansats.

– Det här sättet att skifta perspektiv ger inget slutgiltigt svar på ”matematiken är säker för att?” men genom att filosofiskt granska den konreta användningen av matematiken förstår man bättre vad ett tal är. Jag kan till exempel inte komma på en enda situation där jag skulle tvivla på att 2 + 2 = 4. Däremot kan man ge mig en lång serie tal som jag ska addera och jag är inte längre lika benägen att låta mitt liv hänga på att jag har rätt om jag inte till exempel får kolla många gånger att jag inte gjort ett misstag. Men det jag är ängslig för är alltså inte ett misstag i matematikens lagar utan i hur jag själv räknat – möjligheten att jag har slarvat, är till exempel en möjlig källa till oro.

– Jag tycker att man kan säga att matematiska tal existerar utan att det i sig är filosofiskt problematiskt. Men jag vill själv inte påstå det som en filosofisk tes, för då blir det problematiskt. Men i vilken mening existerar de? Jag kan inte ge dem en adress, alltså säga var de existerar. Vad det innebär att ett tal existerar får vi bäst reda på genom att se på vilket sätt vi använder tal i matematiken – och det förefaller inte kräva att de existerar som någon form av abstrakta objekt.

Matematikhistoria

Två viktiga herrar ur 1900-talets matematikhistoria

David Hilbert (1862–1943)

Matematiker. Lade år 1900 fram en lista på 23 olösta matematiska problem (Hilbertproblemen) – varav idag nio är lösta och ytterligare åtta av dem anses ha delvis accepterade lösningar, ett anses ha bevisats vara olösligt, fyra anses vara för oprecisa för att någonsin kunna lösas och två är fortfarande genuint olösta. Problemen och arbetet med att lösa dem anses ha haft en stor betydelse för 1900-talets och vår samtida matematik.
Hilberts ambition var att axiomatisera hela matematiken vilket innebar början för den formalistiska filosofin. Att axiomatisera matematiken betyder att man bygger ett matematiskt system där alla begrepp och deras betydelser är bestämda på förhand – det här är jämförbart med att konstruera teorier inom logiken, vilket i sin tur kan liknas vid skapandet av ett låst maskineri som används för problemlösning.

Kurt Gödel (1906–1978)

Logiker. Gödels ofullständighetssatser anses omkullkasta Hilberts axiomationsprojekt genom att visa att Hilberts axiomatisering av aritmetiken (grunden i den klassiska matematiken) kräver ett oändligt antal axiom. Ofullständighetssatserna används på håll för att visa att så kallad maskinintelligens eller artificiell intelligens är omöjlig på de premisser den just nu bygger på – och också för att visa att den mänskliga intelligensen eller det mänskliga medvetandet inte går att reducera till axiom. Andra menar att den kritiken är ett missbruk av ofullständighetssatserna.